arctanx的导数是什么？反三角函数与三角函数的关系

arctanx 属于反三角函数中的反正切函数，高中数学难点、重点，那么arctanx的导数是什么？反三角函数和三角函数有什么关系？反三角函数和三角函数有什么区别？关于这些问题，小编为您解答，以供参考。

一、arctanx的导数是什么？

arctanx 的导数是 1/1+x2，即 (arctanx)=1/(1+x^2)

让 y=arctanx,那么x=tany，因为arctanx=1/tany，tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos2y=1/cos2y，那么arctan x′=cos2y=cos2y/sin2y+cos2y=1/1+tan2y=1/1+x2。

Arctanx相关知识点补充：

arctanx（即反正切）指的是反正切函数。函数 y=tanx,（x 不等于 kπ+π/2,k∈Z) 反函数，表示 x=arctany，称为反正切函数。其取值范围为（-π/2,π/2)。反正切函数是一种反三角函数。

反函数与原函数关于y=x对称点的导数互为倒数。设原函数为 y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f(x)互为倒数（即原函数，前提是f(x)存在且不为0）。

反正切函数arctanx的推导过程

让 y=arctanx

那么x=tany

因为arctanx=1/tany

tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos2y=1/cos2y

那么arctan x′=cos2y=cos2y/sin2y+cos2y=1/1+tan2y=1/1+x2。

所以arctanx的导数是1/1+x2。

其他反函数的常用公式

(arcsinx)=1/√(1-x^2)

(arccosx)=-1/√(1-x^2)(arctanx)=1/(1+x^2)(arccotx)=-1/(1+x^2)

二、反三角函数与三角函数的关系

反三角函数和三角函数互为反函数。

1个、通常来说，一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的取值范围为C，如果找到函数 g(y)，其中 g(y) 等于 x，这样的函数 x=g(y)(y∈C) 称为函数 y=f(x)(x∈A) 的反函数，表示 x=f-1(y)。

2个、将反三角函数限制为单值函数，将反正弦函数的值y限制为-π/2≤y≤π/2,使用 y 作为反正弦函数的主值，表示为 y=arcsin。

3个、三角函数的反函数是多值函数，因为不满足一个自变量对应一个函数值的要求，它的图像关于函数 y=x 与其原函数对称。

但是小编提醒大家注意，反三角函数是一个数学名词，是基本初等函数。反三角函数不能狭义的理解为三角函数的反函数，是多值函数。

反三角函数与三角函数的关系：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)。

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